என்னை கவனிப்பவர்கள்

.உங்கள் மின்னஞ்சல் முகவரியை FOLLOW BY EMAIL பகுதியில் இடவும்.மூங்கில் காற்றின பதிவுகள் உங்கள் மின்னஞ்சலுக்கு வந்து சேரும்.TPF -வட்டி கணக்கிடுதல் விளக்கம்

Monday, June 6, 2016

மைனஸ் xமைனஸ் = ப்ளஸ் எப்படி?


 பதிவெழுதத் தொடங்கியபோது  சில கணிதப் புதிர்களை வடிவேலு காமெடி வடிவத்தில சொல்லி இருந்தேன். அவ்வப்போது எனது பெட்டிக்கடையிலும், தனியாகவும் புதிர் கணக்குகள்கொடுத்து  வந்தேன்   அதுக்கு நல்ல வரவேற்பு இருந்தது. 
  உங்க கஷ்ட காலம் இன்னைக்கு சீரியசா ஒரு கணக்கு பதிவு போடலாம்னு முடிவு பண்ணிட்டேன்.  கணக்கு எனக்கு ரொம்ப புடிக்கும்,
( நல்லா கவனிக்கணும் புடிக்கும்னு சொன்னேனே தவிர கணக்குல நான் ஒண்ணும் பெரிய அப்பா டக்கர் இல்ல. லட்டு எனக்கு புடிக்கும்னு சொல்றவங்க  எல்லாம் லட்டு நல்லா செய்ய முடியுமா?) நான் ஸ்கூல்ல படிக்கும்போது

1) (+)  x (+)  = + 

2) (+)  x  (-)  = -

3) (-)  x  (+)  = -

4) (-)  x  (-)  =  +     

என்று சொல்லிக் கொடுத்து மனப்பாடம் பண்ணிக்கோ இது ரொம்ப முக்கியம்னு சொல்லிட்டாரு எங்க கணக்கு வாத்தியார்.           
              (+) x (+) = +  ஓ.கே.
(-) x (-) = +  எப்படி சரி? ஏன் (-) வரக்கூடாதுன்னு  வாத்தியார் கிட்ட கேக்க பயந்துகிட்டு பக்கத்தில இருந்த முதல் ரேங்க் பையன் கிட்ட சொன்னேன் (நான் அப்ப ரெண்டாவது ரேங்க்) அவன் போய் வாத்தியார் கிட்ட சொல்லிவிட அவர் தலையில் நறுக்குன்னு ஒர் குட்டு குட்டி, "என்ன பெரிய மேதாவின்னு நினைப்பா?,நீ யார் கிட்ட டியூஷன் படிக்கறேன்னு எனக்கு தெரியும்.(அப்ப இன்னொரு செக்ஷன் கணக்கு வாத்தியார் ட்யூஷன்ல பிரபலம். வகுப்பு மாணவர்களை விட டியூஷன்மாணவர்கள் அதிகமாம்)  சொல்றதை ஒழுங்கா படி அப்புறம் தன்னால தெரியும்னு போய்ட்டார்.  
உடனே கோவம் வந்து சிங்கத்தை  சீண்டி பாத்துட்டீங்க!  தங்கத்த உரசிப்பாத்துட்டீங்க! எறும்பு புத்தை தோண்டிப் பாத்துட்டீங்க. கரும்புத் துண்டை கசக்கி பாத்துட்டீங்க. நானும் ஒரு நாள் வாத்தியார் ஆகி  இந்த சமுதாயத்த பழிக்கு பழி வாங்காம விட மாட்டேன்னு  வசனமா பேச முடியும்.?
  அதுக்கப்புறம்   டவுட்டு கேக்கறதையே விட்டுட்டேன்.
 (-) x (-) = + எப்படின்னு  கொஞ்சம் லாஜிக் பயன்படுத்தி நிருபிக்கலாம்னு தெரிஞ்சிகிட்டேன் 
   சரி! அது போகட்டும் என் மரமண்டைக்கு புரிஞ்சத உங்களுக்கு சொல்றேன். இதுவரை இதைப் பத்தி தெரியாத யாராது ஒருத்தருக்கு புரிஞ்சாலும் நான் பாஸ் ஆயிட்டேன்னு அர்த்தம்.
    மிகை எண்( + Numbers) குறை எண்(Negative numbers) பெருக்கல்  விதிகளுக்கு நேரடி நிரூபணம் எனக்கு தெரியாது. இருந்தாலும் சுத்தி வளைச்சி அமைப்புச் சீர் முறையில நிரூபிக்க முயற்சி செய்யலாம்.

   எதுவாக  இருந்தாலும் தெரிஞ்சதுல இருந்துதான் தெரியாததுக்கு போகணும் 
  பூச்சியத்தவிட பெரிய எண்களை மிகை எண்கள்னு(ப்ளஸ்) சொல்வாங்க, பூச்சியத்தைவிட சிறிய எண்களை குறை எண்கள்னு (மைனஸ்) சொல்வாங்க.இதெல்லாம் எல்லாருக்கு தெரியும்.
பூச்சியம்  குறை எண்ணும் இல்ல. மிகை எண்ணும் இல்ல.எண்கள்ல பெரியது எது சிறியது எதுன்னு சொல்ல முடியாது. பூச்சியத்தை மைய எண்ணாக வைத்து எண்வரிசை அமைக்கலாம். கீழ் உள்ள எண்கதிரை பாத்தா  ஈசியா புரியம்.

   <----I-------I--------I-----I------I--------I-------I---------I---------I---------I----------I--------I----------->
        -6   -5   -4   -3  -2     -1    0     +1    +2    +3    +4    +5 
0வுக்கு வலது புறம் உள்ள எண்கள் ப்ளஸ் எண்கள்.வலப்புறம் செல்லச் செல்ல எண்களின் மதிப்பு உயர்ந்து கொண்டே போகும்.இதுக்கு முடிவும் இல்ல. 0வுக்கு இடப்புறம் உள்ள எண்கள் குறை எண்கள் (மைனஸ் எண்கள்) இடப்புறம் செல்லச் செல்ல எண்மதிப்பு குறைந்து கொண்டே போகும். இதுக்கும் முடிவு இல்ல

ஒரு எண்வரிசையில அடுத்து வர்ற எண்கள் என்னவாக இருக்கும்னு உங்களுக்கு கண்டு பிடிக்க தெரியும்.
உதாரணத்திற்கு  
-6,-4,-2............
இதனோட அடுத்தடுத்த எண்கள் 0, +2, +4,+6 ...... ன்னு டக்குன்னு சொல்லிடிவீங்க. இது ஏறு வரிசை 
இதே மாதிரி +7,+4,+1 ........ இந்த வரிசையில அடுத்த எண்கள்-2,-5, -8 ன்னு எண் கதிர்ல  மூணு மூணா இடப்புறமா தாவி எண்ணினால் கண்டுபிடிச்சிடலாம்.  

 இதெல்லாம் எதுக்குன்னு கேக்கறீங்களா,இதை வச்சுதான மேல சொன்ன மைனஸ் ,ப்ளஸ் விதிகளை சரி பாக்கப் போறோம்

  நமக்கு ஏற்கனவே தெரிஞ்சுது இரண்டு ப்ளஸ்  நம்பரை பெருக்கினால் ப்ளஸ் நம்பர்தான் கிடைக்கும்  . நாலாம் வாய்ப்பாட்டை இப்படி எழதி இருக்கேன்.
(+4)  X  (+3)=  +12 
(+4)  X  (+2)=  +8
(+4)  X  (+1)=  +4
(+4)  X  (0)  =    0
(  )     X  ( )  =    ( )
 மேலே உள்ளது ஒரு வாய்ப்பாடு மாதிரி இருக்கா? . இதனோட  அடுத்த வரிசை நிரப்பனும் . வாய்ப்பாடு சொல்லி நிரப்பாம எண்களோட அமைப்பை, வரிசைத் தொடரப்  பாத்து நிரப்பனும்  முன்னாடி இருக்க அமைப்பை பாத்தா முதல் என் +4 எல்லா வரிசயிலும் முதல் எண்ணா  இருக்கு, அதனால அடுத்த முதல் எண்ணும்  +4 இது ஒரு மிகை எண்.
அடுத்த   நடு எண்களை பாருங்க +3,+2,+1,0 அடுத்த எண் -1ஆகத்தான் இருக்கணும்.இது ஒருகுறை எண் . 
கடைசி எண்களோட வரிசை  +12 , +8, +4, 0 இந்த வரிசைல அடுத்த எண் -4. இது ஒரு மைனஸ் எண். இப்போ காலியா இருக்க வரிசய இப்படி நிரப்பலாம்  
(+4) x (-1) = (-4) மிகை எண்ணை குறை எண்ணால் பெருக்கினா ஒரு குறை எண் கிடைக்குது, அதாவது (+) x (-) = - ரெண்டாவது விதி ஓகே. வா?

இப்ப  இதையே  எடுத்துக்கிட்டு வாய்ப்பாட்டை கொஞ்சம் மாத்தி தொடர்ந்து எழுதுவோம் 

(+4) x (-1) = (-4) 
(+3) x (-1)= (-3
(+2) x (-1) = (-2
(+1) x (-1) =( -1)
(0) x (-1= (0
(  ) X  ( ) = ( )

இதுவரை ரெண்டாவது விதியை வச்சு பெருக்கி எழுதினோம் அடுத்த வரிசைய தொடர் வரிசை  முறைப்படி எழுதலாம். முதல் எண் ஒவ்வொண்ணா குறைஞ்சிகிட்டே வருது. அதாவது +4,+3,+2,+1,0 ,....... அடுத்தது -1 எனவே அடுத்த வரிசையோட முதல் எண் -1,(மைனஸ் எண்)
எல்லா வரிசையிலும் இரண்டாவது எண் -1 எனவே இதிலும் ரெண்டாவது எண் -1(மைனஸ் எண்). 

ஒவ்வொரு வரிசையிலும் மூன்றாவது எண்ணைப் பார்த்தா ஒண்ணு அதிகமாகுது. அதாவது -4,-3,-2,-1,0, ... அடுத்த எண் +1 (ப்ளஸ் எண்). எல்லாம் ஒன்னு சேத்தா 
(-1) x (-1) = +1 குறை எண்ணை குறை என்னால் பெருக்கினால் மிகை எண் அதாவது  
 (-) x (-) = + 
மைனஸ் x  மைனஸ் = ப்ளஸ்.
நாலாவது விதி ஓ,கே வா?

மூணாவது விதிய இதில இருந்தே வரவழைக்கலாம்  
(-1) x (-1) = +1
(-1) x  (0) = 0
(  ) X  ( ) = ( )
 முதல் எண்களுக்கு, நடு எண்களுக்கு, கடைசி எண்களுக்கும் அடுத்த எண்ணை வரிசை முறையில் நிரப்பினால் 
(-1) x (1) = -1   .மூணாவது விதி (-) x (+) = -யும் ஓகே ஆயிடிச்சா?



*******************************************************************************



27 comments:

  1. என் மண்டையை காயவைக்கனும் என்ற உங்கள் சதியின் ஒரு பகுதிதான் இந்த பதிவு... ஆனால் இந்த சதிவலையில் நான் சிக்க மாட்டேண் நான் எஸ்கேப்

    ReplyDelete
  2. பூரிக்கட்டையில் இருந்து தப்பித்து வாழும் எனக்கு உங்கள் கணக்கு பதிவில் இருந்தா தப்பிக்க வழி தெரியாது

    ReplyDelete
    Replies
    1. கலைஞர் வைகோ,விஜயாந்த் ஸ்டாலின் இவங்கல்லாம் என் கனவில் வந்து இந்த மதுரை தமிழன் அமெரிக்காவுல இருந்து கிட்டு படுத்தற பாட்டை தாங்க முடியல . ஏதாவது செய்யுன்னு கெஞ்சி கேட்டுகிட்டதால இந்தக் கணக்கு பதிவு.

      Delete
  3. பதிவுலகத்துக்கு இரண்டு நாள் லீவு போடலாமான்னு பார்க்கிறேன். "ஐயா.. இப்பவும் எனக்கு உடல்நிலை சரியில்லாமலிருப்பதால்....."

    :)))

    ReplyDelete
  4. Replies
    1. நீண்ட நாட்களுக்குப் பிறகு வருகை தந்திருகிறீர்கள்.நன்றி
      யான் பெற்ற அறுவை பெறுக கந்தசாமி ஐயாவும்

      Delete
  5. சிந்திக்க வைக்க
    சிறந்த
    கணக்குப் பாடம்!
    இன்னும்
    என் தலைக்குள் உருளுகிறது
    மைனஸ் x மைனஸ் = ப்ளஸ் எப்படி?

    ReplyDelete
  6. சாரி, அட்ரஸ் மாறிப் போச்சு.

    ReplyDelete
  7. நானெல்லாம் கணக்குல ஏதோ பாசாயிட்டோம்கிற ரகம்தான். எனக்கு இப்படியொரு சோதனையா..? இன்னும் 'மைனஸ் X மைனஸ் = ப்ளஸ்' என்பது புரியவில்லை. அடுத்த பதிவில் இதை புரிய வைப்பீர்கள் என்று நினைக்கிறேன்.
    த ம 3

    ReplyDelete
  8. Children need such maths teacher. It is always true one should not 'mug' the lessons but to understand and study. Good post.

    ReplyDelete
  9. Children need such maths teacher. It is always true one should not 'mug' the lessons but to understand and study. Good post.

    ReplyDelete
  10. Excellent!

    Expecting more articles like this.

    ReplyDelete
  11. சிறப்பான கணக்குப் பாடம்! எளிமையாக புரிய வைத்தமைக்கு நன்றி! தொடருங்கள்! வாழ்த்துக்கள்!

    ReplyDelete
  12. கணக்கில் நான் வீக் . இருந்தாலும் ஓரளவுக்குப் புரிய வைத்தீர்கள் நன்றி

    ReplyDelete
  13. நீங்க பாசாயிட்டீங்க,அதாவது இந்த மரமண்டைக்கு புரிந்து விட்டது :)

    ReplyDelete
  14. நான் கணக்குல புளி நண்பரே...

    ReplyDelete
  15. super. I am taking this to my second grade daughter.

    ReplyDelete
  16. பள்ளி நாட்களில் ஆசிரியரிடமிருந்து தப்பித்தோம். இப்போது உங்களிடம் மாட்டிக்கொண்டோம் என்று நினைக்கிறேன்.

    ReplyDelete
  17. நல்லதொரு விளக்கம்......

    ReplyDelete
  18. அருமையான விளக்கம் சார்.

    ReplyDelete
  19. இந்த மாதிரி நிரூபணம் கொடுப்பது ஏற்கத் தாக்காதா என்று தெரியவில்லை முரளி!! காரணம், எண்கள் ஒவ்வொன்றும் இறங்கு/ஏறு வரிசை கிரமமாகத் தான் வர வேண்டும் என்பது போல சொல்லியிருக்கிறீர்கள், அது ஏன் என்று நீங்கள் நிரூபிக்க வில்லையே!!

    ReplyDelete
    Replies
    1. பொதுவாக எண்களின் அமைப்பு முறை எப்போதுமே ஏறுவரிசை அல்லது இறங்கு வரிசைதானே! மிகை எண்களின் பெருக்கலுக்கு நிரூபணம் எளிதானது ஏதேனும் பொருட்களைக் கொண்டு உதாரணம் கூற முடியும். அதை அடிப்படையாக வைத்தே இந்த விளக்கம். இதை விட சிறந்த விளக்கம் கிடைக்கப் பெறவில்லை. இதை நிரூபணம் என்று சொல்வதைவிட விதிகளுக்கான விளக்கம் என்றும் கொள்ளலாம்.சில கணித விதிகளுக்கு நேரடி நிரூபணம் இல்லை .இயல் எண்களின் கூடுதல் காண n*(n+1)/2 என்ற formula வை பயன்படுத்தப் படுகிறது. இதற்கான நிரூபணமும் இதனை ஒத்த முறையில்தான் நிரூபிக்க மடியும். வும் மனப்பாட முறையை விட இது பரவாயில்லை அல்லவா?

      Delete
  20. good one boss. You have made it very simple.
    Keep the good work going.

    ReplyDelete
  21. என் கதிரை வைத்துத்தான் இந்தச் சூத்திரத்தை எங்கள் கணக்கு ஆசிரியை சொல்லிக் கொடுத்தார் நீங்கள் இங்கு சொல்லியிருப்பது போன்று எங்களிடம் கேள்வி கேட்டுச் சுவாரஸ்யமாகச் சொல்லித் தந்தார். மீண்டும் நினைவு கூர முடிந்தது மிக்க நன்றி சகோ.

    கீதா

    ReplyDelete

நல்லதா நாலு வார்த்தை சொல்லுங்க !
கைபேசி எண் 9445114895